El Resumen
(post clasificacion M, lease en compania de un matematico)

La conferencia de hoy fue increible. Intentare dar una idea de lo que Manjul Bhargava descubrio segun lo entendi en su exposicion. La idea es que hace 200 anios Gauss encontro que el conjunto de formas cuadraticas de un discriminante D dado podian ser dotadas de una estructura de grupo (de hecho estamos pensado en formas reducidas y tomando el cociente de la accion natural de SL2(Z) en estas). Ademas, resulta que este grupo es isomorfo al grupo de clase del unico orden cuadratico de discriminante D, y de hecho, la manera estandar de hacer calculos en los grupos de clase de anillos cuadraticos es usando esta representacion.

La definicion de Gauss de la ley de composicion (asi se le conoce) abarca 10 paginas del disquisitiones arithmeticae, con metodos modernos se puede reducir a 1 pagina. Sin embargo, no habia una interpretacion simple de la ley de composicion. De lo que Bhargava se dio cuenta es de que si uno pone numeros en los centros de los cuadrados de un cubo de 2x2x2, entonces para cada eje (X, Y y Z) puede uno construir una forma cuadratica (que se les ocurre?) y definir una ley de grupo donde la suma de estas tres formas cuadraticas es cero (a alguien le recuerda la definicion de la adicion en una curva eliptica?) y lo impresionante es que esta ley de grupo coincide con la de Gauss. Asi que lo que he platicado hasta ahora es como le hizo para encontrar una nueva definicion de la ley de composicion para formas cuadraticas usando una interpretacion geometrica. Resulta que si uno considera ciertos cubos especiales, como el cubo que al rotarlo 120 grados por la diagonal queda invariante, se puede aislar elementos particulares del grupo de clase del orden cuadratico, usando los cubos con simetria antes descrita se aislan los puntos de 3-torsion del grupo.

Esto ya se pone interesante, pues encontro una manera de aislar elementos aritmeticos que antes no se podian calcular del grupo de clase, lo fantastico del trabajo viene despues: considerando otras figuras (en este caso una caja de 2x3x3) logro, usando la misma tecnica, dar un isomorfismo entre la ley de grupo asociada al objeto geometrico, como la caja, y el grupo de clase de ordenes en extensiones de grado 3 y 4 de Q. Ademas da una lista completa de invariantes que determinan unicamente a dichos ordenes (asi como el discriminante determina a los ordenes cuadraticos) y logra demostrar ciertos resultados sobre el valor promedio del tamanio del grupo de clase para los anillos de enteros de grado 3 y 4 ordenados segun su discriminante. Hasta aqui lo que me puedo asegurar sin temor, pero Bhargava encontro 14 leyes (abelianas) de composicion y si permitimos tambien leyes no abelianas este numero pasa de 20.

Hay que conseguir una version legible del trabajo porque en verdad vale la pena. Me disculpo por cualquier falta de precision o mentira contenida en estas lineas.

Solo quiero mencionar que Bhargava dice que se inspiro jugando con un cubo de rubik de 2x2x2x para iniciar con este trabajo, espero su inspiracion se reparta al resto de las personas que tenemos cubos de rubik en nuestros cuartos.